10. Καρτεσιανές συντεταγμένες - Γραφική παράσταση συνάρτησης

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

16 Απρίλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Καρτεσιανές συντεταγμένες - Γραφική παράσταση συνάρτησης

1.1 Η έννοια της μεταβλητής

Θεωρία και Ορισμοί

  • Μεταβλητή ονομάζεται ένα γράμμα (συνήθως το \(x\)), το οποίο χρησιμοποιείται για να παριστάνει ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός μη κενού συνόλου \(A\).

  • Το σύνολο \(A\) ονομάζεται πεδίο ορισμού ή πεδίο μεταβολής της μεταβλητής.

  • Σε αντίθεση με τη μεταβλητή, κάθε συγκεκριμένο στοιχείο του συνόλου \(A\) ονομάζεται σταθερά ή τιμή της μεταβλητής.

  • Στις μαθηματικές συναρτήσεις, όπως η \(y = f(x)\), το \(x\) ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το \(y\) ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή ή συνάρτηση του \(x\).

Ιδιότητες

  • Τα μεταβλητά ποσά μπορούν να παίρνουν διάφορες τιμές, ενώ τα σταθερά ποσά διατηρούν πάντα μια μόνο, αμετάβλητη τιμή.

  • Μια μεταβλητή μπορεί να οριστεί πάνω σε οποιοδήποτε σύνολο (π.χ. φυσικούς, ρητούς ή πραγματικούς αριθμούς).

  • Η μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής επιφέρει μια ορισμένη μεταβολή στην τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής.

Παραδείγματα

  1. Η ακτίνα ενός κύκλου είναι μεταβλητή, καθώς μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή.
  2. Το ύψος ενός τριγώνου είναι μεταβλητό μέγεθος.
  3. Ο χρόνος περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι σταθερός, αλλά η απόσταση της Γης από τον Ήλιο είναι μεταβλητή.
  4. Στη σχέση \(y = 50x\) (αξία υφάσματος), το μήκος \(x\) είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.
  5. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι σταθερό ποσό (\(180^\circ\)), αλλά οι ίδιες οι γωνίες είναι μεταβλητές.

Ασκήσεις

  1. Προσδιορίστε τις μεταβλητές στον τύπο του εμβαδού τραπεζίου \(E = \dfrac{(B+\beta)\upsilon}{2}\).
  2. Αν το ημερομίσθιο ενός εργάτη είναι 80 €, γράψτε τη συνάρτηση της αμοιβής του \(y\) σε σχέση με τις ημέρες εργασίας \(x\).
  3. Στη συνάρτηση \(y = 3x^2 + 4\), βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x = -4, -2,2, 5, 7\).
  4. Προσδιορίστε το πεδίο ορισμού της μεταβλητής \(x\) στην έκφραση \(f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x-3}\).
  5. Στη σχέση \(x + y = 5\), αν ο \(x\) πάρει την τιμή 2, ποια είναι η τιμή του \(y\);.
  6. Αν \(f(x) = x + 5\) και \(f(a) = 87\), βρείτε την τιμή της σταθεράς \(a\).
  7. Ποια είναι η ανεξάρτητη και ποια η εξαρτημένη μεταβλητή στη συνάρτηση \(s = v \cdot t\);.
  8. Αναφέρετε τρία παραδείγματα σταθερών μεγεθών από τη Γεωμετρία.
  9. Στην κίνηση ενός αυτοκινήτου με σταθερή ταχύτητα, ποια μεγέθη είναι μεταβλητά;.
  10. Από τη λίστα: ηλικία, ύψος, απόσταση Αθηνών-Θεσσαλονίκης, βάρος, πλευρά τετραγώνου, αθροισμα γωνιών τριγώνου, ξεχωρίστε τα σταθερά και τα μεταβλητά ποσά.

1.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες

Θεωρία και Ορισμοί

  • Για να σχεδιάσουμε μια συνάρτηση, χρησιμοποιούμε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων.

  • Καρτεσιανές ή ορθογώνιοι συντεταγμένες ενός σημείου \(M\) στο επίπεδο ονομάζονται οι δύο αριθμοί \((x, y)\) που προσδιορίζουν τη θέση του.

  • Ο άξονας \(x'x\) ονομάζεται άξονας των τετμημένων και ο άξονας \(y'y\) άξονας των τεταγμένων.

  • Το σημείο τομής των αξόνων \(O\) ονομάζεται αρχή των συντεταγμένων και έχει συντεταγμένες \((0, 0)\).

  • Το επίπεδο χωρίζεται από τους άξονες σε τέσσερις γωνίες (τεταρτημόρια), που συμβολίζονται με I, II, III και IV.

Ιδιότητες

  • Υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των διατεταγμένων ζευγών \((x, y)\) και των σημείων του επιπέδου.

  • Κάθε σημείο πάνω στον άξονα \(x'x\) έχει τεταγμένη \(y = 0\).

  • Κάθε σημείο πάνω στον άξονα \(y'y\) έχει τετμημένη \(x = 0\).

  • Τα πρόσημα των συντεταγμένων καθορίζουν τη θέση του σημείου: στο I είναι \((+, +)\), στο II είναι \((-, +)\), στο III είναι \((-, -)\) και στο IV είναι \((+, -)\).

Παραδείγματα

  1. Το σημείο \(A(4, 3)\) βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο.
  2. Το σημείο \(B(-3, 4)\) βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο.
  3. Το σημείο \(Γ(-2, -3)\) βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο.
  4. Το σημείο \(Δ(5, -2)\) βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο.
  5. Το σημείο \(E(0, -2)\) βρίσκεται πάνω στον άξονα των τεταγμένων.

Ασκήσεις

  1. Τοποθετήστε σε καρτεσιανό σύστημα τα σημεία: \(A(3, 5), B(-2, 1), \Gamma(-3, -4), \Delta(0, -2)\).
  2. Βρείτε το μήκος των πλευρών του τριγώνου με κορυφές \(A(1, -1), B(1, 3), \Gamma(4, -1)\).
  3. Σε ποιο τεταρτημόριο ανήκει το σημείο \(M(-3, -5)\);.
  4. Προσδιορίστε τα πρόσημα των συντεταγμένων στις τέσσερις γωνίες του επιπέδου.
  5. Ποια είναι η τεταγμένη κάθε σημείου που βρίσκεται στον άξονα των τετμημένων;.
  6. Βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου \(A(3, 4)\) ως προς τον άξονα \(x'x\).
  7. Υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου με κορυφές \(Z(0, -4), H(3, 0), \Theta(0, 4), K(-3, 0)\).
  8. Βρείτε την τετμημένη του μέσου \(M\) του τμήματος με άκρα \(A(-2, 8)\) και \(B(8, 0)\).
  9. Τι σχήμα σχηματίζουν τα σημεία που έχουν τετμημένη ίση με \(+4\);.
  10. Προσδιορίστε τις συντεταγμένες των σημείων τομής του κύκλου κέντρου \(O\) και ακτίνας 3 με τους άξονες.

1.3 Γραφική παράσταση συνάρτησης

Θεωρία και Ορισμοί

  • Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \(f\) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που έχουν συντεταγμένες \((x, f(x))\), όπου \(x\) είναι στοιχείο του πεδίου ορισμού.

  • Η γραφική παράσταση δίνει μια γεωμετρική εικόνα της μεταβολής της συνάρτησης.

  • Για τις γραμμικές συναρτήσεις της μορφής \(y = ax + \beta\), η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία γραμμή.

Παραδείγματα

  1. Η γραφική παράσταση της \(y = 3x\) είναι μια ήμιευθεία που περνά από το \((0, 0)\) και το \((1, 3)\).
  2. Η συνάρτηση \(y = 2x + 1\) παριστάνεται από ευθεία που περνά από τα σημεία \((0, 1)\) και \((1, 3)\).
  3. Η γραφική παράσταση της \(y = x^2\) είναι μια καμπύλη (παραβολή).
  4. Η συνάρτηση \(y = \dfrac{12}{x}\) παριστάνεται από μια καμπύλη που πλησιάζει τους άξονες χωρίς να τους τέμνει.
  5. Η συνάρτηση \(y = 50x\) (αξία υφάσματος) παριστάνεται από μια ήμιευθεία στο πρώτο τεταρτημόριο.

Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = 2x\).
  2. Σχεδιάστε την ευθεία που αντιστοιχεί στη συνάρτηση \(y = -x + 3\).
  3. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = \dfrac{10}{x}\) για \(x > 0\).
  4. Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας \(y = 2x - 4\) με τον άξονα \(x'x\).
  5. Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της \(y = 5x\), βρείτε ποια τιμή του \(y\) αντιστοιχεί στο \(x = 2,5\).
  6. Σχεδιάστε τη συνάρτηση \(y = x^2-2\) χρησιμοποιώντας τιμές από το -4 έως το 4.
  7. Από τη γραφική παράσταση της \(y = 20x + 30\), προσδιορίστε το \(y\) για \(x = 2\).
  8. Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας \(y = 3x - 2\) με τους άξονες.
  9. Σχεδιάστε σε ένα σχήμα τις γραφικές παραστάσεις των \(y = x\) και \(y = -x\).
  10. Γράψτε τη συνάρτηση που συνδέει την πλευρά \(x\) ενός τετραγώνου με την περίμετρο \(y\) και παραστήστε την γραφικά.
  11. (Γραφική παράσταση - Κατακόρυφη γραμμή)

Ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δεν παριστάνουν συνάρτηση;

α) Μια παραβολή που ανοίγει προς τα πάνω

β) Ένας κύκλος

γ) Μια ευθεία γραμμή με κλίση

δ) Η διπλή υπερβολή

Για να ελέγξεις αν ένα γράφημα είναι συνάρτηση: Φέρε νοερά μια κατακόρυφη γραμμή – αν τέμνει το γράφημα σε περισσότερα από ένα σημεία, δεν είναι συνάρτηση.

  1. (Συμπλήρωση πίνακα)

Δίνεται η συνάρτηση ( f(x) = -2x + 1 ).

x -2 -1 0 1 2 3
(y = f(x))

α) Να συμπληρώσεις τον πίνακα.

β) Να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων.

  1. (Αντίστροφη διαδικασία - Εύρεση τύπου)

Μια ευθεία γραμμή διέρχεται από τα σημεία ( A(0, 2) ) και ( B(2, 8) ).

α) Να βρεις τον τύπο της συνάρτησης \(y = \alpha x + \beta\).

Αφού το σημείο Α(0,2) είναι σημείο της ευθείας σημαίνει ότι για x=0 , y=2 δηλαδή \(2=α\cdot 0+β \Rightarrow β=2\) …………………….

β) Να βρεις την τιμή της συνάρτησης στο ( x = 5 ).

γ) Να βρεις το ( x ) όταν ( y = 20 ).

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !